（2022.1.15）
by the day という表現がオンライン英会話のレッスンで出てきました。
by the day は『一日一日、日ごとに』の意味になります。
なので、day by day と同じような表現なんですね。（こっちはよく知ってたけど。）
例えば
The case numbers of COVID-19 infection are increasing by the day.
「COVID-19の感染者数が日に日に増えています」
のように使えます。
by the day のところは、もちろん day by day でもいいですね。
（コロナの件、状況は今良くないですが、一日も早く収まってくれるのを願うばかりです。）
ついでに言うと、
by the day は、これとは異なった場面でも使われることがあります。
賃金などに対して『日決めで』という意味の表現にもなるんです。
これは例えば
Their wages were paid by the day.
「彼らの賃金は日給で支払われた」
のように使います。
work by the day なら『日給で働く』ということです。
こういう簡単な単語の組み合わせの表現でも、
ここぞという時になかなか口から出て来ないかもしれません。
いつでも出せるように「身に着ける」には、とりあえず試しにでも使ってみるのが大事なんじゃないでしょうか。