(2023.1.29)
egg someone on は『誰かをけしかける、そそのかす』という意味になるそうです。。
この 場合のegg は名詞ではなく他動詞で、
これがon を伴って『(人を)そそのかす』の意味になるということですね。
でも、なんで egg =「たまご 」が「そそのかす」の意味になるのでしょうか？
実は、動詞のegg は名詞のegg たまご とは関係なくできた言葉なんだそうです。
動詞のegg は「たきつける」の意味の中期英語 eggen に由来していて、
たまごのegg は「大型の鳥（家禽）のたまご」を意味する中期英語 eg, egg, egge に由来するので、語源が違うのです。
使ってみましょう。
His friends egged him on to skip class.
「彼が授業をさぼるように彼の友人たちがけしかけた」
（この表現は、僕はオンライン英会話 Bizmates のDiscovery Lessonで覚えました。）